2009年12月23日 星期三

Week 16: 線性近似與微分算子

1. 課程公告: 期末考範圍 Ch2 ~ Ch3-1。

2. 本週第一節課舉行小考, 範圍 § 2-1 ~ 7

3. § 2-8 線性近似與微分算子

從標題看, §2-8 有兩個主題要討論: 線性近似與微分算子。

 a. 線性近似

所謂的 線性近似 指的就是當我們要求一個函數在某一點附近的函數值的時候, 有些時候直接代入即可, 有些時候卻不是那麼容易計算出來, 因此, 我們思考: 是否可以在那個點的附近找到一個新的函數, 這個函數和我們要求的函數很像, 很接近, 如果可以找到這樣的函數, 我們直接求這個函數在該點附近的函數值, 應該也是八九不離十啦。



這是 § 2-1 的圖 4, 從這個圖中, 我們的觀察有一個結論: ( 是什麼呢?? )

其實, 上圖中的直線, 其實就是我們要找的新函數, 換句話說, 這個直線就是原先的函數在 x = 1 附近的近似函數。( 這條直線是什麼線呢 ? )



這條直線的方程式該如何求呢?
(提示: 如果你會求這條直線的斜率, 也知道這條直線通過哪一點, 應該就可以求出其方程式了。)


 b. 微分元 (differential)

線性近似背後的內在意義有時可以用 微分元 的概念描述。

若 y = f(x),其中 f 是可微函數,則存在一個稱為 微分元 (differential) 自變數 dx ;
也就是說 dx 可以是任意給定的實數。而另一個微分元 dy 則是由 dx 所決定:

   dy = f '(x) dx

所以 dy 是一個 應變數;它是由 x 和 dx 所決定的。
若 dx 和 x 的值都給定了,dy 的值也就自然被決定了。

從圖 5 中, 我們可以觀察到微分元的幾何意義。
令 P(x, f(x)) 和 Q(x + ∆x, f (x + ∆x)) 位於 f 的圖形上並且取 dx = ∆x 。
相對應的 y 的變化量為 ∆y = f(x + ∆x) – f(x)



由圖 5 很容易看出, 在 Δx 越小時, 線性近似值 Δy 會越接近 dy 值。
 

2009年12月22日 星期二

Week 15: 相對變化率

1. 課程公告: 下週二第一節課舉行小考, 範圍 § 2-1 ~ § 2-8。

2. 本週進度:

§ 2-7 相對變化率

如果我們將一氣球充氣,它的體積和半徑都會增加,而它們的增加率之間互有關聯。實際上體積的增加率會比半徑的增加率容易求得。

在牽涉到相對變化率的問題中,通常是想要利用某個量的變化率來求出另一個量的變化率 (有可能容易算很多)。

作法是先找到描述二個量之關係的方程式,然後利用 連鎖法則 將方程式的等號二邊都對 時間 作微分。

例 1 : 將一圓形氣球以每秒100立方公分的速度充氣。氣球在直徑為50公分時半徑增加的速度為何?

我們先寫出下列條件:

   已知: 氣球內空氣體積的增加率為 100 立方公分/秒
   未知: 半徑在氣球直徑為 50 公分時的增加率

為了要用數學來描述這個問題,我們必須要引入一些變數:

 令 V 為氣球的體積,而 r 是氣球的半徑

關鍵在於 變化率 其實就是 導數

在這個問題中,體積和半徑都是時間 t 的函數。

體積相對於時間的變化率為 dV/dt,而半徑相對於時間的變化率為 dr/dt。

所以我們可以把上述的條件重寫成:

  已知: dV/dt = 100 立方公分/秒
  未知:當 r = 25 公分時的 dr/dt

為了找到 dV/dt和 dr/dt 之間的關係,我們首先用球體的體積公式將 V 和 r 關聯在一起:

  V = ( 4 /3 ) π r^3

將方程式的等號二邊同時對 t 微分,這樣就能利用已知的條件。

微分的過程需要用到連鎖法則: (Why? 請同學思考)

 dV/dt = dV/dr * dr/dt = 4 π r^2 dr/dt

接著解出未知的量:

 dr/dt = ( 1/4πr^2 ) * dV/dt

如果將 r = 25 和 dV/dt = 100 代入方程式內就會得到

 dr/dt = ( 1/ 4 π 25^2 ) * 100 = 1/ 25π

所以氣球半徑的增加率為 1/25π 公分/秒。

2009年12月14日 星期一

Week 14: 隱函數的微分

在此之前, 我們所處理的函數都是可以把其中一個變數, 清楚地用另一個變數來表示, 例如:

  y = x sinx

然而, 有些函數是被包含 x 和 y 的方程式隱含地定義出來的。例如:

  x^2 + y^2 = 25



上述的式子中隱含地表示了兩個函數, 分別是 Fig. 1 (b) 的上半圓 f(x) 和 Fig. 1 (c) 的下半圓 g(x)。

課本的另外一個例子:

  x^3 + y^3 = 6xy


 
其實, 在這個圖形中, 分別隱含地表示了三個函數, 分別如 Fig. 3 所表示。


 
本節 § 2-6 隱微分 所要討論的主題就是該如何求得這類隱函數的導函數。

例 1: (p. 2-51)
  (a) 若 x^2 + y^2 = 25 , 求 dy/dx。
  (b) 求圓 x^2 + y^2 = 25 在點 ( 3, 4 ) 的切線方程式。

 步驟:
   (1) 兩邊同時對 x 微分。
   (2) 要把 y 看做是 x 的函數, 因此, 對 y 微分時, 必須要用連鎖法則才行。

 其實, 也可以用 § 2-1 的方法, 先確定 點 ( 3, 4) 是屬於上述兩個隱含的函數中的哪一個? 再用所屬的那個函數去求導函數(會用到 § 2-5 的連鎖法則) , 一樣可以求出其切線方程式, 答案都是一樣的。 (廢話!)

例 2: (p. 2-52)
  (a) 已知 x^3 + y^3 = 6xy, 求 y'。
  (b) 求笛卡兒葉形線 x^3 + y^3 = 6xy 在點 ( 3, 3 ) 的切線方程式。
  (c) 在第一象限中的哪一點有水平切線 ?

 步驟:
   (1) 兩邊同時對 x 微分。
   (2) 要把 y 看做是 x 的函數, 因此, 對 y 微分時, 必須要用連鎖法則才行。
   (3) 等式右邊的 xy 要用到乘法律
 

 
 
 
例 3: (p. 2-53)
  已知 , 求 y'。

 步驟:
   (1) 兩邊同時對 x 微分。

 注意: 對左式微分要用到連鎖法則,
 
   F(x) = f。g (x) = f (g(x)) = sin (x+y)

 所以,
    f (x) = sin (x), f ' (x) = cos(x)
    g(x) = x+y,   g ' (x) = 1 + 1 * y'

    F ' (x) = cos (x+y) * g'(x) = cos (x+y) * (1+y')

   對右式微分要用到乘法律連鎖法則,

   G(x) = y^2 cos x
 
   G '(x) = 2yy' cos x + y^2 (-sin x)
 
 因此, cos (x+y) * (1+y') = 2yy' cos x + y^2 (-sin x)

 移項,

  cos (x+y) + y^2 sin x = (2y cos x) y' - cos(x+y) y'

 所以,

  y' = ( cos (x+y) + y^2 sin x ) / ( 2y cos x - cos(x+y) )

  
 


例 4: (p. 2-53)
  已知 x^4 + y^4 = 16, 求 y" = ?
 

 

2009年12月7日 星期一

Week 13: 微分公式練習

這個星期, 我們在課堂上請同學上台演練課本的習題 § 2-3 到 § 2-5 的部分, 凡是上台演練習題的同學, 我都會在平時成績給予加分!

本週作業: 下週(12/15)實習課教繳交, 不得遲交!

§ 2-3
微分基本公式

 題目: 20 ~ 24

§ 2-4 乘法和除法公式

 題目: 10, 12, 14, 16, 18

§ 2-5 連鎖法則

 題目: 1 ~ 5
 

Week 12: 微分公式

基本上, 從 § 2-3 到 § 2-5 都是在告訴我們, 有些函數的導數, 其實不用從最基本的定義開始計算, 這些函數的導數已經有數學家幫我們導出各種公式, 我們只要套入公式, 就可以很快地求得答案。所以, 如何套入公式, 就變成大家要去熟悉的重點。

如何熟悉呢? 多做一些題目, 自然就熟悉了!

§ 2-3 微分基本公式

§ 2-4 乘法和除法公式

§ 2-5 連鎖法則