2010年5月26日 星期三

§ 6-6 瑕積分 Improper Integrals

在定義積分 ∫ f(x) dx 時, 我們考慮定義在有限區間 [a, b] 上的函數 f。

在這一節中, 我們把定積分推廣到更一般的情形, 這時 f 可以定義在無窮的區間上, 或者在區間中有趨近於無窮大的不連續點。

我們稱這二種情形的積分為瑕積分(improper integrals)

第一型: 無窮區間

把函數 f 在無窮區間上的積分, 定義為有限區間上的積分的極限。

Week 14: 期末考範圍公布

1. 期末考範圍公布:

  a) §6-1 分部積分§6-2 三角積分和代換§6-3 部分分式§6-6 瑕積分

  b) §7-1 曲線間的面積

  c) §8-1 數列、§8-2 級數

  d) §11-3 偏導數

  e) §12-1 矩形上的重積分

2. 複習 §6-2 三角積分和代換 Trigonometric Integrals and Substitutions

 習題: 1, 3, 20, 21, 23

3. 講解 §6-3 部分分式 Partial Fraction

 習題: 4, 5, 6, 8, 10

4. 講解 §6-6 瑕積分 Improper Integrals
 

2010年5月19日 星期三

§ 6-3 部分分式 Partial Fraction

這一節所要處理的被積函數是有理函數(多項式的商)。

想法: 把分式表示成數個較簡單的分式的和, 再對這幾個分式分別積分。

例如:
   2 / (x-1) - 1 / (x+2)
  = 2(x+2)-(x-1) / (x-1)(x+2)
  = (x+5) / (x²+x-2)

因此, 當我們要對 (x+5)/(x²+x-2) 積分時, 就可以先分別對 2/(x-1) 及 -1/(x+2) 積分, 在加起來, 就是我們要的答案了。

情形 I: 分母 Q(x) 的所有因式都不同而且都是線性的

情形 II: 分母 Q(x) 的所有因式都是線性的, 但是有些會重覆

情形 III: 分母 Q(x) 有不可約的二次因式, 而且全部都互異

情形 IV: 分母 Q(x)有重覆的二次不可約因式
 

Week 13: 積分技巧-三角函數及代換

1. 講解 Ch 6 之全章概念

2. § 6-2 三角函數及代換

3. 2010/05/24 實習課小考 Ch 4
  2010/05/31 實習課小考 Ch 5

2010年5月12日 星期三

Week 12: 積分技巧-分部積分

1. 第一堂課小考 Ch 3
 考試後題目可下載

2. § 6-1 分部積分
 本節習題 : 1, 3, 4, 9, 16
 繳交日期: Week 14 ( 20 May, 2010)

3. 下週第一堂課小考 Ch 4 (延至實習課小考)

§ 6-2 三角積分及代換 Trigonometric Integrals and Substitutions

在這一節要討論的是三角函數的積分, 以及可以用三角函數代換來解的積分。

1. 三角函數積分 (Trigonometric Integrals)

 有些三角函數的積分可以用三角函數的恆等式(trigonometric identities)來改寫並求解。

 恆等式: sin²x + cos²x = 1
 
 例 1: 求 ∫ cos³x dx。

  這一題只用 § 4-5 變數變換法, 令 u = cos x , 並不能解這個積分。

  必須將 cos³x 拆成 cos²x 和 cos x 的乘積, 然後用恆等式 cos²x = 1 - sin²x 將原式代換

     ∫ cos³x dx
    = ∫ cos²x cos x dx
    = ∫ (1 - sin²x) cos x dx
    = ∫ cos x dx - ∫ sin²x cos x dx

  接下來就可以用 § 4-5 變數變換法 來求得 ∫ sin²x cos x dx 。

 一般而言, 我們的目的是把包含 sin x 及 cos x 的被積函數表示為只有一項 sin x 的因式, (其他部分只用 cos x 表示); 或只有一項 cos x 的因式, (其他部分只用 sin x 表示)。

 用恆等式 sin²x + cos²x = 1 可以在 sin x 和 cos x 間來回變換, 這時它們的乘方只會差偶數次。

 例 2: 求 ∫ sin^5 x cos²x dx。

  如果把 cos²x 用 1- sin²x 代換, 會得到一個只有 sin x 的積分。但這並不是我們所要的。

  比較好的做法是留下一項 sin x, 把剩下的因式 sin^4 x 用 cos x 表示。

  sin^5 x cos²x = ( sin²x )² cos²x sin x = ( 1- cos²x )² cos²x sin x

  接下來, 就可以用變數變換法了....

  令 u = cox x , 則 du = -sin x dx ,

   ∫ ( 1- cos²x )² cos²x sin x dx
   = ∫ ( 1 - u² )² u² (-du)
   = -∫ ( 1 - 2 u² + u^4) u² du
   = -∫ ( u² - 2 u^4 + u^6) du
   = - ( 1/3 u³ - 2/5 u^5 + 1/7 u^7 ) + C
   = - 1/3 cos³x + 2/5 cos^5 x - 1/7 cos^7 x + C
 
 上述的例子中, sin x 或是 cos x 的乘方都是奇數, 因此,可以提出一項, 然後將剩下的部分用恆等式 sin²x + cos²x = 1 將 sin x 或 cos x 代換掉。如果它們的乘方都是偶數, 這個方法並不可行。

  這時, 可以嘗試用半角公式 ( 見 附錄 A 的式 17a 和 17b )

    sin²x = (1/2) (1 - cos 2x )
    cos²x = (1/2) (1 + cos 2x )

2. 三角函數的代換 (Trigonometric Substitutions)

 當我們在算圓或橢圓的面積時,會需要解像∫ √(a²-x²) dx 的積分 ( 取 a > 0 )。

 如果是∫ x √(a²-x²) dx,只要用變數變換 u = a²-x² 就可以解,但是 ∫ √(a²-x²) dx 就困難多了。

 如果把 x 變為 x = a sin θ , 可以透過 1 – sin²θ = cos²θ 把根號除掉:

   √(a²-x²)
  = √(a²-a²sin²θ)
  = √(a²(1-sin²θ))
  = √(a²(cos²θ))
  = a |cosθ|

 要用 x = a sin θ 代換時,必須先保證它是一對一的,這可以把 θ 限制在 [–π/2, π/2] 做到。

2010年5月6日 星期四

News: 「慣寶寶」大學生 業界嘆難用

中國時報 2010/05/05 李宗祐 新竹報導

金融海嘯席捲全球期間,科學工業園區去年曾高達十幾萬人放無薪假。今年初,景氣回春,科技大廠卻感嘆有錢找不到人!旺宏電子總經理盧志遠昨日指出,台灣現在大學生滿街跑,但都找不到合適的人才;即使勉強找到可用的人,很多都是「慣寶寶」,都想「錢多、事少、離家近」。

國家實驗研究院國家奈米元件實驗室昨日舉辦「台灣半導體未來論壇」,台積電副董事長曾繁城和盧志遠等人對我國半導體人才嚴重不足均憂心忡忡。

人才難覓 學校沒把學生教好

曾繁城指出,台積電最近招募人才,應徵者雖多,卻找不到合適的人,現在連電機系教授都不做半導體技術研究,學生當然也不會,政府應加強培育製造技術人才。

盧志遠並說,好的半導體人才都往台積電和聯電等前十大廠商擠,一般半導體公司根本搶不到。國內現有一百六十幾所大學院校,大學生滿街跑,企業卻找不到合適的人,因為學校沒有把學生教好。

空有名校學歷 卻無專業能力

盧志遠指出,政府為解決半導體人才「不患寡而患不均」問題,鼓勵台、成、清、交等名校成立產碩專班,結果製造出一堆更難用的人才,「我們要用的是擁有台成清交程度的人才,而不是掛著台成清交招牌的人。」除了專業能力備受詬病之外,盧志遠對大學生的語文能力更是不敢苟同。

從小被慣壞 只想「錢多事少」

他說,旺宏是國際化的公司,經常要跟國外客戶連繫,但工程師寫好的電子郵件不敢發出去,因為英文不好。「英文不懂,還好,就怕還造成誤解,把黑的講成白的。信寄出去後,主管還要忙著收拾善後,更麻煩。」

對於時下年輕人的工作態度,盧志遠更是搖頭嘆氣。「現在年輕人都想錢多、事少、離家近。」公司要派人出國都找不到人,即使以加薪鼓勵也沒有用。「上有天堂、下有蘇杭」,旺宏要派年輕工程師到蘇杭駐廠,卻沒有人要去,不是說女朋友不同意,就是以家有老母當藉口。

他感慨地說,廿幾歲的年輕人應該是四海走天涯,到那裡都可以打拚。但台灣現在的年輕人都是「慣寶寶」,從小就被慣壞了。

Week 11: 期中考檢討

1. 期中考檢討:

2. § 6-1 分部積分

3. 小考公告:

  時間: 5/13 2:50-2:50 PM
  範圍: 第三章全部
  重點: 定義, 定理, 例題, 習題

2010年5月5日 星期三

§ 6-1 分部積分(Integration by Parts)

 每一個微分法則, 都有一個相對應的積分法則 (Every differentiation rule has a corresponding rule.)。例如: 積分中的變數變換(substitution rule), 對應的就是微分中的連鎖法則(chain rule)。對應於微分乘法律(product rule for differentiation)的積分技巧就是分部積分(integration by parts)。

 微分乘法律:

   [f(x) g(x)]' = f(x) g'(x) + f '(x) g(x)

 將二邊同時積分,

   f(x) g(x) = ∫ [ f(x) g'(x) + f '(x) g(x) ] dx
       =∫ f(x) g'(x) dx + ∫ f '(x) g(x) dx

 移項就會得出 分部積分的公式(formula for integration by parts):

   f(x) g'(x) dx = f(x) g(x) - ∫ f '(x) g(x) dx
 
 如果, 令 u = f(x), v=g(x),

  將 u 對 x 微分, du/dx = f '(x), 所以 du = f '(x) dx
  將 v 對 x 微分, dv/dx = g'(x), 所以 dv = g'(x) dx

 因此, 用變數變換會得到另一個比較好記的分部積分公式:

   ∫ u dv = u v - ∫ v du
 
 例 1: 求 ∫ x sin x dx

 註: 我們的目的是把複雜的積分變成較簡單的積分。例如在 例 1 中, 開始時是 ∫ x sin x dx, 後來可以寫成只有積分 ∫ cos x dx 的形式。

 一般來說, 再決定 u 和 dv 時, u = f(x) 的導數會變簡單 (至少不會變複雜), 而 dv = g'(x)dx 的積分要先知道。
 
 例 2: 求 ∫ ln x dx

 例 3: 求 ∫ t² e^t dt

  這個例子告訴我們, 可以重複使用分部積分的技巧, 讓原來的積分越來越簡單。

 例 4: 求 ∫ e^x sinx dx

  這個例子很有趣, 用到 2 個觀念,

   a) e^x 微分還是不變,
   b) 對 sin x 積分兩次, 會回到 sin x 的形式,

  最後, 神奇的移項後, 竟可以得到答案。

 同時使用 分部積分 和 取值定理 ( § 4-3 定積分的計算, p. 4-26 ), 也可以算定積分。