1. § 3-5 最佳化問題
2. § 3-6 牛頓法
2010年12月30日 星期四
2010年12月23日 星期四
2010年12月9日 星期四
Week 14: 極大值與極小值 & 均值定理
1. § 3-1 極大值與極小值
習題: 2, 6, 7, 12, 18
2. § 3-2 均值定理
a. 洛爾 (Rolle) 定理
b. 均值定理 (Mean Value Theorem)
習題: 1, 4, 5, 7, 12
習題: 2, 6, 7, 12, 18
2. § 3-2 均值定理
a. 洛爾 (Rolle) 定理
b. 均值定理 (Mean Value Theorem)
習題: 1, 4, 5, 7, 12
2010年12月8日 星期三
§ 2-7 相對變化率
這一節中, 課本的陳述只有短短兩段, 接下來就是用例題來讓同學了解什麼是"相對變化率",
1. 什麼是體積的增加率?
2. 體積的增加率是固定的嗎?
3. 怎麼求得體積增加率?
4. 什麼是半徑的增加率?
5. 半徑的增加率是固定的嗎?
6. 怎麼求得半徑增加率?
7. 為什麼體積的增加率比較容易求得?
課文這一段的陳述, 只有討論到 "變化率", 接下來, 才要進入『相對』的主題。
請同學思考:
1. 所謂的『相對』, 指的是什麼?
2. 是指兩個變化率之間的關係嗎?
3. 如果兩個變化率之間存在一種關係, 這個關係就是所謂的函數嗎?
(請同學回想函數的定義是什麼?)
4. 要怎麼得到這個函數呢?
我們看看課文是怎麼寫的:
習題 18: 一錶上的秒針長 8 公厘而時針則是 4 公厘長。在 1 點時, 二針針尖的距離的相對速度為何 ?
1. 由餘弦定理 (The Law of Cosines) 可以導出兩個針尖距離的關係式
距離 l² = 8² + 4² - 2 * 8 * 4 * cos θ = 80 - 64 cos θ
l² = 80 - 64 cos θ
2. 再對此關係式的兩邊同時對 時間(t) 微分
2l * (dl/dt) = 64 sin θ * (dθ/dt)
如果我們將一氣球充氣，它的體積和半徑都會增加，而它們的增加率之間互有關聯。實際上體積的增加率會比半徑的增加率容易求得。閱讀完上述文章, 請同學思考:
1. 什麼是體積的增加率?
2. 體積的增加率是固定的嗎?
3. 怎麼求得體積增加率?
4. 什麼是半徑的增加率?
5. 半徑的增加率是固定的嗎?
6. 怎麼求得半徑增加率?
7. 為什麼體積的增加率比較容易求得?
課文這一段的陳述, 只有討論到 "變化率", 接下來, 才要進入『相對』的主題。
請同學思考:
1. 所謂的『相對』, 指的是什麼?
2. 是指兩個變化率之間的關係嗎?
3. 如果兩個變化率之間存在一種關係, 這個關係就是所謂的函數嗎?
(請同學回想函數的定義是什麼?)
4. 要怎麼得到這個函數呢?
我們看看課文是怎麼寫的:
在牽涉到相對變化率的問題中，通常是想要利用某個量的變化率來求出另一個量的變化率(有可能容易算很多)。作法是先找到描述二個量之關係的方程式，然後利用連鎖法則將方程式的等號二邊都對時間作微分。
If we are pumping air into a balloon, both the volume and the radius of the balloon are increasing and their rates of increase are related to each other. However, it is much easier to measure directly the rate of increase of the volume than the rate of increase of the radius.
In a related-rates problem, the idea is to compute the rate of change of one quantity in terms of the rate of change of another quantity( which may be more easily measured). The procedure is to find an equation that relates the two quantities and then use the Chain Rule to differentiate both sides with respect to time.
習題 18: 一錶上的秒針長 8 公厘而時針則是 4 公厘長。在 1 點時, 二針針尖的距離的相對速度為何 ?
1. 由餘弦定理 (The Law of Cosines) 可以導出兩個針尖距離的關係式
距離 l² = 8² + 4² - 2 * 8 * 4 * cos θ = 80 - 64 cos θ
l² = 80 - 64 cos θ
2. 再對此關係式的兩邊同時對 時間(t) 微分
2l * (dl/dt) = 64 sin θ * (dθ/dt)
§ 3-1 極大和極小值
微積分最重要的應用之一是 最佳化問題。
1. 同樣的容量, 可以得到最低成本的罐頭形狀是什麼?
2. 什麼是太空船的最大加速度?
3. 人在咳嗽時, 可以將空氣從體內以最快的速度釋放出來的氣管大小是多少?
4. 當你在藝廊參觀時, 要站在離畫多遠處才可以得到最好的觀賞視野?
定義
如果函數 f 對任意定義域 D 中的 x 都滿足 f (c) ≧ f (x),
我們就說 f 在 c 處有 絕對極大值(absolute maximum) 或 全域極大值(global maximum),
f (c) 就是 f 在 D 的 極大值 (maximum value)。
同樣的, 如果函數 f 對任意定義域 D 中的 x 都滿足 f (c) ≦ f (x),
就說 f 在 c 處有 絕對極小值(absolute minimum) 或 全域極小值(global minimum),
f (c) 就是 f 在 D 的 極小值(minimum value)。
上述的最大和最小值稱為 f 的 極值(extreme values)。
定義
如果函數 f 對 c 附近的 x 都滿足 f (c) ≧ f (x)
[ 也就是說在某一包含 c 的開區間中的 x 都滿足 f(c) ≧ f (x) ],
我們就說 f 在 c 點有區域極大值(local maximum) 或 相對極大值(relative maximum)。
同樣的, 如果函數 f 對 c 附近的 x 都滿足 f (c) ≦ f (x)，就說 f 在 c 點有 區域極小值(local minimum)。
極值定理
如果函數 f 在一閉區間 [a, b] 中連續, 則在 [a, b] 中一定存在二個值 c 和 d 使得 f (c) 是絕對極大值而 f (d) 是絕對極小值。
費馬定理
如果 f 在 c 點有區域極值而且 f '(c) 存在, 則 f '(c) = 0
定義
如果函數 f 在 c 的導數 f ’ (c)=0 或 f ’ (c)不存在,
我們就稱 c 是 f 的一個 臨界點(critical point)。
若 f 在 c 點有區域極值，則 c 是 f 的一個臨界點。
閉區間法
如果想要求出連續函數 f 在閉區間 [a, b] 絕對極值, 可以依下列步驟:
1. 求 f 在 (a, b) 的臨界點上的函數值。
2. 求 f 在端點的值。
3. 步驟 1 和 2 得到的值中，最大的就是絕對極大值; 最小的就是絕對極小值。
1. 同樣的容量, 可以得到最低成本的罐頭形狀是什麼?
2. 什麼是太空船的最大加速度?
3. 人在咳嗽時, 可以將空氣從體內以最快的速度釋放出來的氣管大小是多少?
4. 當你在藝廊參觀時, 要站在離畫多遠處才可以得到最好的觀賞視野?
定義
如果函數 f 對任意定義域 D 中的 x 都滿足 f (c) ≧ f (x),
我們就說 f 在 c 處有 絕對極大值(absolute maximum) 或 全域極大值(global maximum),
f (c) 就是 f 在 D 的 極大值 (maximum value)。
同樣的, 如果函數 f 對任意定義域 D 中的 x 都滿足 f (c) ≦ f (x),
就說 f 在 c 處有 絕對極小值(absolute minimum) 或 全域極小值(global minimum),
f (c) 就是 f 在 D 的 極小值(minimum value)。
上述的最大和最小值稱為 f 的 極值(extreme values)。
定義
如果函數 f 對 c 附近的 x 都滿足 f (c) ≧ f (x)
[ 也就是說在某一包含 c 的開區間中的 x 都滿足 f(c) ≧ f (x) ],
我們就說 f 在 c 點有區域極大值(local maximum) 或 相對極大值(relative maximum)。
同樣的, 如果函數 f 對 c 附近的 x 都滿足 f (c) ≦ f (x)，就說 f 在 c 點有 區域極小值(local minimum)。
極值定理
如果函數 f 在一閉區間 [a, b] 中連續, 則在 [a, b] 中一定存在二個值 c 和 d 使得 f (c) 是絕對極大值而 f (d) 是絕對極小值。
費馬定理
如果 f 在 c 點有區域極值而且 f '(c) 存在, 則 f '(c) = 0
定義
如果函數 f 在 c 的導數 f ’ (c)=0 或 f ’ (c)不存在,
我們就稱 c 是 f 的一個 臨界點(critical point)。
若 f 在 c 點有區域極值，則 c 是 f 的一個臨界點。
閉區間法
如果想要求出連續函數 f 在閉區間 [a, b] 絕對極值, 可以依下列步驟:
1. 求 f 在 (a, b) 的臨界點上的函數值。
2. 求 f 在端點的值。
3. 步驟 1 和 2 得到的值中，最大的就是絕對極大值; 最小的就是絕對極小值。
2010年12月2日 星期四
Week 12: 隱微分
1. § 2-5 連鎖法則 (Chain Rule)
習題: 3, 9, 11, 19, 27 (2010/12/07 實習課繳交)
2. § 2-6 隱微分
同學們應先弄懂什麼是隱函數, 再來思考對於這類的函數, 該如何去求其導函數。
習題: 1, 2, 5, 8, 13 (2010/12/07 實習課繳交)
習題: 3, 9, 11, 19, 27 (2010/12/07 實習課繳交)
2. § 2-6 隱微分
同學們應先弄懂什麼是隱函數, 再來思考對於這類的函數, 該如何去求其導函數。
習題: 1, 2, 5, 8, 13 (2010/12/07 實習課繳交)
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